Bài 3: 

\(\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)+15\)

\(=\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)+15\)

\(=x^4-10x^2+9+15\)

\(=x^4-10x^2+24\)

\(=\left(x^2-4\right)\left(x^2-6\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-6\right)\)

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

Nhận thấy 323=17.19323=17.19 và (17;19)=1(17;19)=1 nên ta cần chứng minh 20n−1+16n−3n20n−1+16n−3n chia hết cho số 1717 và 1919

Ta có 

20n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=1920n−1⋮(20−1)=19;16n−3n⋮(16+3)=19 (vì nn chẵn)          (∗)(∗)

Mặt khác

20n+16n−3n−1=20n−3n+16n−120n+16n−3n−1=20n−3n+16n−1 

và 20n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=1720n−3n⋮(20−3)=17;16n−1⋮(16+1)=17                           (∗∗)(∗∗)

Từ (∗)(∗∗)(∗)(∗∗) ta suy ra đpcm

b)

đặt A= 1+2^1+2^2+.....+2^(n-1) (1) (điều kiện: n là hợp số) 
=>2A =2.[1+2^1+2^2+.....+2^(n-1)] 
=>2A=2^1+2^2+.....+2^(n-1) +2^n (2) 
lấy (2) - (1) vế theo vế ta có: 
2A-A= 2^n -1 
=> A= 2^n -1 
=> 2^n -1 = 1+2^1+2^2+.....+2^(n-1) 
vì n là hợp số =>n=a.b ( a,b thuộc N ; a >1; b>1) 
=> 1+2^1+2^2+.....+2^(n-1) =1+2^1+2^2+.....+2^(a.b-1) 
trong tổng 1+2^1+2^2+.....+2^(a.b-1) có (a.b-1-0) :1+1 =a.b số hạng 
=> tổng 1+2^1+2^2+.....+2^(a.b-1) có thể chia thành b nhóm ; hoặc a nhóm 
=>1+2^1+2^2+.....+2^(a.b-1) chia hết cho a và chia hết cho b mà a,b thuộc N ; a >1; b>1 
=>1+2^1+2^2+.....+2^(a.b-1) là hợp số => 2^n - 1 cũng là hợp số

a) Với n = 3 \(\Rightarrow A=\frac{12.3+1}{20.3+2}=\frac{36+1}{60+2}=\frac{37}{62}\)

Vậy với n = 3 thì \(A=\frac{37}{62}\)

b) Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 20n + 2

=> 12n + 1 ⋮ d <=> 5(12n + 1)  ⋮ d <=> 60n + 5 ⋮ d (1)

20n + 2 ⋮ d <=> 3(20n + 2) ⋮ d <=> 60n + 6 ⋮ d (2)

Từ (1) và (2) => (60n + 6) - (60n + 5) ⋮ d

<=> 1 ⋮ d

=> d ∈ Ư(1) Mà d là ưCLN => d = 1

=> 12n + 1 và 20n + 2 nguyên tố cùng nhau => \(\frac{12n+1}{20n+2}\) tối giản

Vậy với n ∈ N thì A tối giản

a) Gọi ƯC(2n+1,4n+6) = d ( d thuộc Z)

Suy ra 2n+1 chia hết cho d

            4n+6 chia hết cho d

Suy ra 2(2n+1) chia hết cho d hay 4n+ 2 chia hết cho d

Suy ra 4n+ 6 - 4n - 2 chia hết cho d hay 4 chia hết cho d

Suy ra d thuộc {1;-1;2-2;4;-4}

Mà 2n + 1 không chia hết cho 2 và -2 nên d khác 2 và -2

      4n+6 không chia hết cho 4 và -4 nên d khác 4 và -4

Suy ra d chỉ có thể là 1 và -1

Vậy 2n+1/4n+6 là phân số tối giản với mọi n

b)CÓ LẼ SAI ĐẦU BÀI